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新编文档-2二重积分的计算方法-精品文档_图文

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6.1.2 二重积分的计算法 一 问题的提出 二 直角坐标计算二重积分利用 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结 一、问题的提出 按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限 ? ??? n ?Df?(x ,y)d?l?? i0? im ? 1f(i, i)?i. 然而,用定义来计算二重积分,一般情况 下是非常麻烦的. 那么,有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍: 二、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍: 1、积分域 D: (1)X-型域 ? ? 如果积分区域为: a?x?b, 1 (x )?y?2 (x ). y??2(x) D y??1(x) y??2(x) D y??1(x) a b a b [X-型] X型区域的特点:a、平行于y轴且穿过区域的直线 与区域边界的交点不多于两个; b、 ?1(x)??2(x). (2)Y-型域: c?y?d, ?1(y)?x??2(y). d x??1(y) c D x??2(y) d x??1(y) D c x??2(y) [Y-型] Y型区域的特点:a、穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界的交点不多于两个。b、 ?1(y)??2(y). 2、X-型域下二重积分的 z 计算: 由几何意义,若 f(x,y)?0 y 则 ??f(x,y)dxd?V y D (曲顶柱体的体积) y??2(x) b xa z?f(x,y) A( x) x y??1(x) 此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲 边梯形面积为: Z ? A(x)???12((xx )) f(x,y)dy z?f(x,y) 所以: ?1( x) y ?2(x) ?? ? ? ? f(x,y)dxd?y b A(x)dx? b [ ?2(xf) (.xy)dy]dx D a a ?1(x) 注意: 1)上式说明: 二重积分可化为二次定 积分计算; 2)积分次序: X-型域 先Y后X; 3)积分限确定法: 投影定限法。 为方便,上式也常记为: ? ? bdx?2( x ) f(x.y)dy a ?1(x ) ? 注: 若 ?(x,y)≤0 仍然适用。 3、Y-型域下二重积分的计算: 同理: [Y-型域下] 亦为平行截面知 面的 积立 为体 已体积. 用y?常数截立体,为 其曲 截边 面梯 也形 ? 面积为B(: y)? ?2(y)f(x,y)dx ?1(y) 于是 ? ?f?(x,y)d??c d[?? ? 1 2 ((y y ))f(x,y)]dy D 注意: 1)积分次序: Y-型域 ,先x后Y; ??? ? 也可 :D 记 ?c dd 为 ? y ? 1 2 ((y y ))f(x,y)dx 4、利用直系计算二重积分的步骤 (1)画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标; (2)根据积分域类型, 确定积分次序; (3)确定积分限,化为二次定积分; (4)计算两次定积分,即可得出结果. 注意:二重积分转化为二次定积分时,关键 在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。 5 若区域为组合 域,如图则: ???????????. D D1 D2 D3 6、如果积分区域既是X-型, 又是[Y-型], 则有 0 D3 D1 D2 ?? ? ? ? ? ? f(x,y)d D ?b[?2(x) a ?1(x) fd]dy?x d [ c ?2(y) ?1(y) fdx]dy 例 1求 ?(?x 2?y)dx , d 其 中 y D 是 由 抛 物 线 D y?x 2和 x?y2所 围 平 面 闭 区 域 . 解: 两 曲 线 的 交 点 ?y?x2 ? ?x?y2?(0,0) ,(1,1), [X-型] ?0 ? x ? 1 ? ? x 2 ? y ? x x ? y2 x ? y2 yy ?? xx22 ??(x2 ?y)dxdy??01[?x2x(x2?y)d]ydx D ? ?1 [x 2( x?x 2)?1(x?x 4)d ] x 0 2 x ? y2 ? 33 . 140 [Y-型] ??0 ? y ? 1 ? ?? y 2 ? x ? y y ? x2 ??(x2 ?y)dxd? y ?0 1[?y2y(x2?y)dx ]dy D ? 33 . 140 例2 计 算 ??xy?d,其 中 D是 由 抛y物 2 ?x线 及 D y?x?2所 围 成 的 闭 区 域 。 解: (如图)将D作Y型 (先x后y) y ?? ? ? xy?d? 2 y?2 dy xydx ?1 y2 2 D 2 ? x2 ? y?2 ?? ?1 ? ? 2 y? ? y2 dy -1 ? ? 1 2 [ y( y ? 2)2 ? y5 ]dy 2 ?1 ?1 2[y 44?4 3y3?2y2?y 66]2 ?1?58 5 ?4,2? x ? y2 x? y?2 x ?1,?1? 1 2y 3 3? y 例 3 改变积分 ?0 dy?0 f ( x, y)dx ? ?1 dy?0 f ( x, y)dx 的积 分次序. 解:积分区域如图 y 3 x?3?y 0?y? 1 ,0?x? 2 y 1 1 ?y? 3 ,0 ? x ? 3 ? y ? 0?x?2,1x?y?3?x 2 o 2 3?x ? ? 原式? 0 dx 1x 2 f (x, y)dy . x ? 2y 2x ? ? 例 4 改变积分 2a dx 0 2ax 2ax?x2 f ( x, y)dy (a ? 0) 的次序. 解: y? 2ax 2a y? 2ax?x2 a ? x?a?a2?y2



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