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数字信号处理第二章z变换与离散时间傅里叶变换DTFT_图文

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第二章 z变换和DTFT 本章主要内容: 1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述 §2.1 z变换的定义及收敛域 信号和系统的分析方法有两种: ——时域分析方法 ——变换域分析方法 连续时间信号与系统 —— LT FT 离散时间信号与系统 —— ZT FT 一、ZT的定义 ? ? X(z)? x(n)z?n n??? x(n )? X (z),z:(?1 ,?2) z 是复变量,所在的复*面称为z*面 二、ZT的收敛域 ? 对于任意给定序列x(n),使其z变换X(z) 收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 ? 级数收敛的充要条件是满足绝对可和 ? ?x(n)z?n ?M?? n??? 1)有限长序列 x(n)????x(0n) n1?n?n2 其它n n2 ? 其 Z变 换 : X(z)? x(n)z?n n?n1 R o c 至 少 为 : 0 ?z? ? j Im[z] Re[z] 0 Roc----Region of convergence ? 除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况 有关外,整个z *面均收敛。 X ( z ) ? x ( n 1 ) z ? n 1 ? x ( n 1 ? 1 ) z ? ( n 1 ? 1 ) ? ? x ( ? 1 ) z 1 ? x ( 0 ) z 0 ? x ( 1 ) z ? 1 ? ? x ( n 2 ? 1 ) z ? ( n 2 ? 1 ) ? x ( n 2 ) z ? n 2 ? 如果n2≤0 ,则收敛域不包括∞点 n 1?0 ,n 2?0时 0?z , ?? ? 如果n1≥0 ,则收敛域不包括0点 n 1?0 ,n 2?0时 0?z , ?? ? 如果n1<0<n2,收敛域不包括0 、∞点 n 1?0 ,n 2?0时 0?z , ?? 2)右边序列 ?x(n) x(n)?? ? 0 n?n1 n?n1 ? 当 n1?0时 , Roc:Rx? ?z?? 当 n1?0时 , Roc:Rx? ?z?? ?因果序列的z变换必在∞处收敛 ?在∞处收敛的z变换, 其序列必为因果序列 j Im[z] R x? 0 Re[z] n1 ? 0 包 括 z?? 处 3)左边序列 x(n)????x(0n) n?n2 n?n2 ? 当 n2?0时 , Roc:0?z?Rx? 当 n2?0时 , Roc:0?z?Rx? j Im[z] Re[z] 0 R x? n2 ? 0 4)双边序列 n 为 任 意 值 时 皆 有 值 ? 1 ? ? ? 其 z 变 换 : X (z )? x (n )z ? n?x (n )z ? n n ? ? ? 前 式 R o c : 0 ?z? R x ? 后 式 R o c:R x??z?? ? 当 Rx??Rx?时 , Roc:? n ? 0 j Im[z] R x? 0 Re[z] R x? 当 Rx??Rx?时 , Roc:Rx??z?Rx? 例1 ?[n]? ? ZT ? 1,0?z?? ? ? ? δ[n]z?n ?1 n?? ? 收敛域应是整个z的闭*面 例2:求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域 ? ? ? ? 解 : X (z )= x(n )z? n= R N (n )z? n n ? ? ? n ? ? ? N ?1 1? z?N ?= z ? n ? 1 ? z ?1 n?0 zN ?1 ? z N ?1 ( z ? 1) ?n2 qn ? qn1 ?qn2?1 n?n1 1?q n 2? ? 时 须 满 足 q? 1 j Im[z] 零 点 : z? ej2 N ?r r? 1 ,...,N ? 1 Re[z] 极 点 : z ? 0 ( N ? 1 ) 阶 0 R o c : 0 ? z ? ? 例3:求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域 ? ? ? ? ? ? 解 : X ( z ) =x ( n )z ? n =a n u ( n )z ? n =a n z ? n n ? ? ? n ? ? ? n ? 0 ? 1 ? 1 az ?1 当az?1 ?1时 j Im[z] Roc: z?a 零 点 : z?0 极 点 : z?a a Re[z] 0 例4:求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域 ? ? ? ? 解 : X (z )=x (n )z ? n =? a n u (? n ? 1 )z ? n n ? ? ? ?? n ? ? ? ? 当a?1z ?1时 ? ? = ?anz?n= ?a?nzn n??1 n?1 j Im[z] ?1??aa?1?1zz?1?1az?1 Roc: z?a a Re[z] 0 零 点 : z?0 极 点 : z?a 例5:求x(n)=a|n|,a为实数,求ZT及其收敛域 ? ? ? 1 ? ???? 解 : X ( z ) =x ( n ) z ? n =a n z ? n =a ? n z ? n ?a n z ? n n ? ? ? n ? ? ? n ? ? ? n ? 0 ? ? ? ? = anzn ? anz?n n?1 n?0 ?? anzn ? az n?1 1?az az?1? z?1/a ? ? anz?n n?0 ?1?1az?1 az?1 ?1?z?a ? 当 a ? 1 时 , 无 公 共 收 敛 域 , X ( z ) 不 存 在 当 a ? 1 时 , X (z )? 1 ? a z a z? 1 ? 1 a z ? 1? ( 1 ?



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